[전자기학] 자기상수(Magnetic Constant) 와 전기상수 (Electric Constant)

다음의 내용은 http://info.ee.surrey.ac.uk/Workshop/advice/coils/unit_systems/index.html#USA 을 자의적으로 해석한 것으로 정확한 내용이 아닐 수 있음을 미리 밝혀둔다. 정확한 계산이나 단위의 해석에 오류가 있을 수 있다.

 진공의 유전율은 왜 10^-9 / 36π (F/m) 일까? 특별한 의미가 있는 것일까? 측정치일까? 아니면 수식의 전개과정에서 필요에 의해서 정해진 것일까? 그 과정을 알아보기 위해서 전기의 단위가 정해진 유래를 따라가 본다.

최근에는 표준화 단체에서 진공의 유전율(Vacuum Permittivity)이나 진공의 투자율(Vacuum Permeability)이라는 용어 대신 전기상수(electric constant), 자기상수(magnetic constant)라고 바꾸어 부르기로 했다. 이것은 이 값들이 측정값이 아니라 정의된 값이라는 것을 명확하게 하기 위한 것이다. 따라서 전기상수와 자기상수는 진공의 속성이 아니다. 물리현상을 비례식으로 나타내기 위해서 정한 비례상수이다.

1. 자기상수(Magnetic Constant)

자기상수는  μ₀ = 4π×10^-7  (H/m) 로 정의된다. 왜 이렇게 정해졌는가.

무한히 긴 두개의 평행한 직선도선이 서로에게 가하는 힘은 다음과 같이 표현된다.

(그림 1)

 얇고 무한이 긴 직선 도선에 전류가 흐를 때 두 도선사이에는 힘이 가해진다. 두 도선사이의 거리에 반비례하고 두 도선에 흐르는 전류에 비례한다. 무한하게 긴 도선 중에서 아주 짧은 길이의 도선 사이에서 발생하는 물리 현상만을 생각한다면 두 도선사이에 가해지는 물리현상은 다음과 같이 정의할 수 있다.

F_m = ∝ ( I² / r )

비례식이므로 비례상수가 필요하다. 비례상수를 K_m 이라 정하고 다시 쓰면

Fm  = 2K_m ( I² / r )

비례상수 K_m 앞에 2 가 있는 이유는 알 수가 없다. 별다른 이유가 있는 것 같지는 않고 그냥 정해진것 같다. 문제는 초기 연구단계에서 여러가지의 단위계가 사용되었고 중간에 단위계를 바꾸는 과정이 있었다는 점이다.  책마다 다른 표기방법과 설명 때문에 정확한 유래는 알 수가 없다. 초기에 사용했던 단위계는 센티미터를 기본으로 하는 cgs 단위계였다. 그것이 미터를 기본단위로 하는 MKSA 단위계 (또는 SI 단위계라고 한다.) 로 바뀌었다. 그런데 관습상 예전 단위계와의 호환을 위해서 단위변환을 위한 값이 추가되었다. 

cgs 단위계에서는 길이는 센티미터, 힘은 dyne 을 사용한다. 

SI 단위계에서는 길이는 미터, 힘은 Newton 을 사용한다. 

1 Newton = 10⁵ dyne 이다. 1 meter = 10² centimeter 이다. 

Newton 과 meter 를 사용하는 단위계와 dyne 과 centimeter 를 사용하는 단위계에 상관없이 값을 같게 하려면 10^-7 을 곱하면 된다. 정확한 이유는 알 수가 없다. 어찌되었건, 비례상수에 2가 들어가있고 10^-7 을 곱해야 하므로, 두 도선간의 거리가 1m 떨어져 있고 1A 의 전류가 흐르고 있다면 2×10^-7(N/m) 의 힘이 가해지게 된다.

4π 가 들어가는 이유는 다음과 같다. 

http://info.ee.surrey.ac.uk/Workshop/advice/coils/mu/index.html#mu0

두개의 무한하고 평행한 직선 도선에 1m 의 간격을 두고 1A 의 전류가 흐르고 있다면 자계강도는 

H = I / d = 1 / (2π) (A/m) 가 된다. 가해지는 힘은 2×10^-7(N/m) 이다. 

자속밀도(B)는 힘 (Force) 과 , 전류(current) 로 표현하면 

B = F / I = 2×10^-7 / 1 (Tesla) 이 된다. 

http://hyperphysics.phy-astr.gsu.edu/hbase/magnetic/wirfor.html

μ₀ = B / H = (2×10^-7 ) / (1 / 2π)  = 4π×10^-7 (H/m) 이 된다.

2. 전기상수(Electric Constant)

전기상수(Electric Constant)는 다음과 같이 정의된다. 

ε₀ = 1 / (μ₀c²) 

전기상수는 자기상수와 빛의 속도로부터 정의되는 것이다. 빛의 속도는 일정하므로  전기상수는 자기상수를 기준으로 하여 정한다. 전기상수는 빛의 속력과 자기상수에 의해서 결정되는 것으로 정했으므로  ε₀ = 1 / ( μ₀c²) 가 된다. μ₀ = 4π×10^-7 , c = 3×10⁸ 이므로 대입하여 정리하면 ε₀ = 10^-9 / 36π (F/m) 가 된다.