[전자기학] 경계조건 (Boundary Condition)과 커패시터 (Capacitor)

전자기학에서는 두 매질의 경계면에 대해서 경계조건(Boundary Condition)이라는 특수한 경우에 대해서 별도의 해석방법을 두고 있다. 맥스웰 방정식이 모든 공간에 대해서 성립한다는 것을 가정하고, 균일한 유전체와 유전체 사이의 경계면을 따로 생각하는 것이다.

1. 수평방향과 수직방향의 경계조건

경계조건에서는 D , E 에 대해서 수직방향과 수평방향을 별도로 분리하여 두 매질에서의 변화에 대해서 다룬다. 커패시터의 측면에서 바라보면 유전체가 직렬 연결된 경우와 병렬 연결된 경우로 나누어 볼 수 있다. 이것은 회로이론에서의 커패시터의 직렬 연결과 병렬 연결의 관계와 같다. 일단, 평행판 커패시터에서 유전체가 직렬로 연결된 경우와 병렬로 연결된 경우 어떤 일이 발생하는지 생각해본다.

수직방향:
전속밀도는 보존된다.
전계는 보존되지 않는다.

수평방향:
전계는 보존된다.
전속밀도는 보존되지 않는다.

2. 수직방향과 커패시터의 직렬 연결

직렬 연결된 경우를 그림으로 보면 D는 [유전체1] 과 [유전체2] 에서 모두 같다. 동일한 극판에 모인 자유전하의 영향을 받기 때문이다. 유전율의 차이에 따라서 내부에서의 전계가 달라지는 것이다.  ε_r1 > ε_r2 로 가정했을때, 내부에서 일어나는 분극은 [유전체1]이 더 많이 일어난다.

왼쪽은 극판에 모인 자유전하의 관점에서 그린 것이고 오른쪽은 분극에 의한 상쇄효과를 제외한 것이다. 왼쪽에서 녹색으로 표시한 화살표는 전속밀도를 나타낸 것이다. 화살표의 개수가 몇개인지만 주목한다. 오른쪽의 청색 화살표는 전계를 표시한 것이다. 윗쪽의 유전체에서는 통과하는 화살표가 4개이고 아래쪽 유전체를 통과하는 화살표는 5개이다. 화살표의 개수가 다르다는 것은 전계가 다르다는 것이다. 아래쪽이 전계강도가 더 세다. 같은 거리에서 전위차가 더 크게 차이가 난다. 첫번째 유전체에서의 전위차를 V1, 두번째 유전체에서의 전위차를 V2 라고 한다면 V1 < V2 가 된다.

유전체가 직렬 연결된 것은 커패시터가 직렬 연결 된 것으로 생각할 수동 있다. 기하학적 요소(극판의 면적과 극판 사이의 거리)가 같다면 나머지는 유전체의 유전율이 커패시터의 정전용량에 영향을 주기 때문이다.

자세히 보면 각 커패시터의 극판에 모인 자유전하의 개수가 모두 같은 것을 알 수 있다. 왜 그럴까?

(1) (+)극에서 양전하가 위의 극판으로 이동한다.
(2) 아래 커패시터의 극판에서 음전하가 이동한다. 음전하가 이동한 자리는 양전하가 생긴다. 원래는 양전하와 음전하가 인접하여 중성상태였으나 음전하가 이동하였으므로 상대적으로 양전하 상태가 되기 때문이다.
(3) 아래 커패시터의 위 극판이 양전하가 생겼으므로 아래 극판에 음전하가 보충된다.
(4) 모든 과정이 끝난 최종적인 모습이다.

3. 수평방향과 커패시터의 병렬 연결

유전체가 수평으로 나란히 이어졌을 때 전속밀도와 전계는 다음과 같다.

유전율이 높은 [유전체1]에 더 많은 분극이 일어난다. 하지만 전계는 동일하다.

이것을 커패시터의 병렬 연결로 생각할 수 있다.

왼쪽의 커패시터에서 분극이 더 많이 일어나고 극판에 모인 자유전하의 개수도 더 많다. 하지만 두 커패시터의 양 극판의 전위차는 같다. 같지않다면 두 커패시터 사이에 전류가 흐를 것이다. 그림은 모든 과정이 끝난 Steady State 상태를 나타낸 것이다.

직렬연결
각 커패시터에 저장되는 자유전하의 양은 모두 같다. 

병렬연결
각 커패시터의 전위차는 모두 같다.