퀸카로 살아남는 법(Mean Girls) 마지막 문제

퀸카로 살아남는 법(Mean Girls)은 수학을 잘하는 여학생이 주인공이다. 돌이켜 보면 중학생때는 수학 잘 하는 여학생에 대한 환상같은것이 있었던 것 같다. 멋있어 보인다고 할까. 피아노 잘치고, 수학 잘하고, 집도 부자고 거기다 예쁘기 까지 하면 같은 반 남자애들의 시선을 한 몸에 받게 된다. 그런 여왕벌 주변에는 무수리(!)들이 따라 붙는데 그애들도 만만치 않다. 혹시라도 짝꿍이 되어서 그애들이 하는 이야기에 끼어 들 기회라도 얻게 되면 큰 영광이라도 된 것처럼 기분이 들뜨곤 했다.

영화에 등장하는 주인공인 Cady Heron은 학생들의 반목을 일으킨 죄로 수학경시대회에 출전하게 된다. 마지막 문제의 선수로 나서게 되는데 문제는 다음과 같다.

로피탈 정리(l'Hospital's rule)를 사용하면 쉽게 풀릴것이라 생각했지만... 그렇게 쉽게는 안된다. 상대 선수로 나온 Caroline Krafft 가 -1 을 답으로 한것은 로피탈 정리를 이용해서 푼 것으로 보인다. 물론, 문제를 살짝 오해했다는 가정하에서 말이다. Caroline Krafft 가 안경을 쓰고 있었고 대회장에서 Caroline Krafft 의 위치에서는 문제가 살짝 이상하게 보일수도 있다고 가정해 본다면 이해가 간다.

음수(-) 표시가 명확하지 않아서 곱하기를 뜻하는 점으로 보일수도 있기 때문이다. sin(x)부분의 표시를 변형하여 다시 문제를 표시해 보면 다음과 같다.

이걸 로피탈 정리를 이용해서 분자 분모를 미분하면 극한값이 -1 이 된다.

그런데, Cady Heron 은 좀 엉뚱하게도 짝사랑 했던 남자애와 함께 했던 수학시간을 떠올린다. 그 수학시간에 나온것은 무한대로 발산하는 함수의 극한. 답은 "The limit does not exist." 

[영심이] 에서 중학생 퀴즈에 나간 영심이가 "몰라요." 한마디로 1등하는 장면같다. 완전 어이없는 문제다.

도저히 풀수가 없어서 그래프를 그려 봤더니... 정말 아름다운(?) 곡선이 나왔다.

그래프에서 알 수 있듯, 좌극한과 우극한이 다르기 때문에 극한값이 존재하지 않는다.

각본을 쓴 Tina Fey 의 의도는 좀 어처구니 없는 답변을 해서 좀 코믹하게 하려는 것 같지만 관객들이 저 답변을 이해하느라 정신없을 테니 코믹한 느낌은 덜할 것 같다. [영심이]보다는 좀 약한것 같다. 

 

http://kasmana.people.cofc.edu/MATHFICT/mfview.php?callnumber=mf450

위 사이트의 해법은 분자와 분모가 모두 0으로 수렴하므로 로피탈 정리를 쓴다음 극한을 추정해 보는 것이다. 로피탈 정리를 한 번 적용하면 다음과 같다.

이 상태에서 분모의 좌로 부터의 극한은 (x가 0보다 약간 작은값일때) 음의 방향에서 0에 근접한다. (2cos(x)sin(x) 를 2sin(2x) 로 놓고 생각하면 쉽다.) , 분자는 -2에 근접한다. 분모와 분자와 모두 음수이므로 결과적으로 양의 값을 가진다. 분모는 0에 근접하면서 작아지고 분자는 2에 근접하면서 값이 커지므로 (분자분모가 모두 음이므로 부호를 모두 양으로 바꾸면) 이 상태에서는 극한값이 양의 무한대라고 볼 수 있다. 마찬가지로 오른쪽에서 접근했을 때는 우극한이 음의 무한대이다. 따라서, 좌극한과 우극한이 다르므로 극한값은 존재하지 않는다. 경시대회 문제라지만 즉석에서 풀 수 있는 문제인지는 의심스럽다. 명확한 해법이 있다기 보다는 감으로 풀어야 되는 문제다.

한가지 재밌는 것은 영화에서는 Equation 이라고 나왔지만 Equation 은 등호(=)가 있어야 되므로 Expression 이라고 해야 한다. 이건 작가의 실수가 분명하다.